<삼각함수와 복소수>

§1. 삼각함수

1. 덧셈정리

2. 여러 가지 공식

(1) 배각공식

(2) 반각공식

(3) 곱의공식

(4) 합의공식

3. 삼각함수의 합성

(1) 사인합성

(2) 코사인합성

4. 삼각방정식

§2. 복소수

1.복소수의 극형식

(1) 복소수

(2) 복소평면

(3) 복소수의 극형식

2. 복소수의 사칙연산

(1) 복소수의 덧셈과 뺄셈

(2) 복소수의 곱셈

(3) 복소수의 나눗셈

3. 드 므아브르 정리

§1. 삼각함수

1.덧셈정리

[eqn: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,~~sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ]

[eqn: cos(α+β)=cosαcosβ -sinαsinβ ,~~cos(α-β)=cosαcosβ +sinαsinβ]

[eqn: tan(α+β)={tanα+tanβ}over{ 1-tanαtanβ}],          [eqn: tan(α-β)={tanα-tanβ}over{1+tanαtanβ}]

(증명1)

좌표평면 위의 점 P(x, y)를 원점을 중심으로 α만큼

회전이동하여 P'(x', y')로 옮기는 변환을 f 라고 하고

좌표평면 위의 점 P'(x', y')를 원점을 중심으로 β만큼

회전이동하여  P"(x", y")로 옮기는 일차변환을 g 라고 하면

합성변환 [eqn: g CDOT f] 는 점 P(x, y)를 원점을 중심으로 α+β만큼

회전이동하여 점 P"(x", y")로 옮기는 일차변환이다.

일차변환  f,  g, [eqn: g CDOT f] 를 나타내는 행렬을 각 각 A, B, C 라고 하면

[eqn: A=pmatrix{cos alpha &~-sin alpha #sin alpha &~cos alpha }],   [eqn: B=pmatrix{cos beta &~-sin beta #sin beta &~cos beta }],   [eqn: C=pmatrix{cos (alpha+ beta ) &~-sin (alpha+ beta ) #sin (alpha+ beta ) &~cos (alpha+ beta ) }]

C=BA 이므로 [eqn: pmatrix{cos (alpha+ beta ) &~-sin (alpha+ beta ) #sin (alpha+ beta ) &~cos (alpha+ beta ) }][eqn: =pmatrix{cos beta &~-sin beta #sin beta &~cos beta } pmatrix{cos alpha &~-sin alpha #sin alpha &~cos alpha }]

[eqn: =pmatrix{cos alpha cos beta -sin alpha sin beta &~~ -sin alpha cos beta -cos alpha sin beta # sin alpha cos beta +cos alpha sin beta &~~cos alpha cos beta -sin alpha sin beta}]

[eqn: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,]   [eqn: cos(α+β)=cosαcosβ -sinαsinβ]

[eqn: tan(α+β)= {sin( alpha + beta )} over {cos( alpha + beta )} =][eqn: {sin alpha cos beta +cos alpha sin beta }over{cos alpha cos beta -sin alpha sin beta }][eqn: ={tanα+tanβ}over{ 1-tanαtanβ}]

β 대신 -β를 대입하면

[eqn: sin(α-β)=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sin alpha cos beta -cos alpha sin beta]   [eqn: cos(α-β)=cosαcos(-β) -sinαsin(-β)=cos alpha cos beta +sin alpha sin beta]

[eqn: tan(α-β)={tanα+tan(-β)}over{1+tanαtan(-β)}={tanα-tanβ}over{1+tanαtanβ}]

<예>다음 삼각함수의 값을 구하여라.

① sin105°    ② cos75°    ③ tan15°

<예> sinα=1/3, cosβ=1/4일 때 sin(α+β), cos(α-β)의 값을 구하여라.

(단[eqn: πover 2]<α<π, 0<β<π)

<예>[eqn: sinx= 13over14 ~siny= 11over14]일 때  각의 크기 x+y는? (단 x, y는 예각)

<예>θ=[eqn: πover12]일 때 [eqn: sinθ+cosθ]의 값을 구하여라.

2.여러가지 공식

(1)배각공식

[eqn: ①sin2θ=2sinθcosθ~~~ ②cos2θ={ cases{ cos^2 θ -sin^2 θ # 1-2sin^2 θ# 2cos^2 θ -1}} ~~~③tan2θ={ 2tanθ} over{ 1-tan^2 θ}]

(증명) [eqn: sin2θ=sin(θ+θ)=sinθcosθ+cosθsinθ=2sinθcosθ]

[eqn: cos2θ=cos(θ+θ)=cosθcosθ-sinθsinθ={ cases{ cos^2 θ -sin^2 θ#1-2sin^2 θ#2cos^2 θ-1}}]                         [eqn: tan2θ={tanθ+tanθ}over{1-tanθtanθ}={ 2tanθ} over {1-tan^2 θ}]

※ 삼배각공식

①[eqn: sin3θ=3sinθ-4sin^3 θ]    ② [eqn: cos3θ=4cos^3 θ -3cosθ]

(2)반각공식

[eqn: ①sin^2 θ over 2 ={1-cosθ}over2 ,~~② cos^2 θover 2 ={1+cosθ}over2 ,~~③tan^2 θover2 ={1-cosθ}over{1+cosθ}]

※[eqn: ①sin^2 θ = { 1-cos2θ}over2 ~~ ②cos^2 θ={1+cos2θ}over2 ~~ ③tan^2 θ={1-cos2θ}over{1+cos2θ}]

(증명)[eqn: cos2θ=1-2 sin^2 θ~~sin^2 θ={1-cos2θ}over2 ~~θ→ θover2 ~~sin^2 θover2 ={1-cosθ}over2]

[eqn: cos2θ=2cos^2 θ -1 ~~cos^2 θ ={1+cos2θ}over2 ~~θ→ θover2 ~~cos^2 θover2 ={1+cosθ}over2]

[eqn: tan^2 θover2 =sin2θ over cos2θ = {1-cosθ}over{1+cosθ}]

(3)곱의 공식                                (4)합의 공식

① sinA․cosB = {sin(A+B)+sin(A-B)}[eqn: 1over2]     ① sinA+sinB = 2sin[eqn: {A+B}over2] cos[eqn: {A-B}over2]

② cosA․sinB = {sin(A+B)-sin(A-B)}[eqn: 1over2]     ② sinA-sinB = 2cos[eqn: {A+B}over2] sin[eqn: {A-B}over2]

③ cosA․cosB = {cos(A+B)+cos(A-B)}[eqn: 1over2]   ③ cosA+cosB = 2cos[eqn: {A+B}over2] cos[eqn: {A-B}over2]

④ sinA․sinB=-{cos(A+B)-cos(A-B)}[eqn: 1over2]     ④ cosA-cosB =-2sin[eqn: {A+B}over2] sin[eqn: {A-B}over2]

(증명)

[eqn: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ→①~~ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ→②]

[eqn: cos(α+β)=cosαcosβ -sinαsinβ→③ ~~cos(α-β)=cosαcosβ +sinαsinβ→④]

[eqn: ①+②~:~sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB] → sinAcosB={sin(A+B)+sin(A-B)}½

[eqn: ①-②~ :~sin(A+B)-sin(A-B)=2cosAsinB] → cosAsinB={sin(A+B)-sin(A-B)}½

[eqn: ③+④~:~cos(A+B)+cos(A-B)=2cosAcosB] → cosAcosB={cos(A+B)+cos(A-B)½

[eqn: ③-④~:~cos(A+B)-cos(A-B)=2sinAsinB] → sinAsinB=-{cos(A+B)-cos(A-B)}½

A→[eqn: {A+B}over2] ,[eqn: B→{A-B}over2]를 곱의공식에 대입

sinA․cosB = {sin(A+B)+sin(A-B)}[eqn: 1over2] → sinA+sinB = 2sin[eqn: {A+B}over2] cos[eqn: {A-B}over2]

cosA․sinB = {sin(A+B)-sin(A-B)}[eqn: 1over2] → sinA-sinB = 2cos[eqn: {A+B}over2] sin[eqn: {A-B}over2]

cosA․cosB = {cos(A+B)+cos(A-B)}[eqn: 1over2] → cosA+cosB = 2cos[eqn: {A+B}over2] cos[eqn: {A-B}over2]

sinA․sinB = -{cos(A+B)-cos(A-B)}[eqn: 1over2] → cosA-cosB = -2sin[eqn: {A+B}over2] sin[eqn: {A-B}over2]

<예> sinθ=2/3일 때  sin2θ, cos2θ, tan2θ의 값은? ( 단[eqn: πover2 <θ<π] )

<예>[eqn: πover2 <θ<π~에서~cosθ=- 1over4 일~때~]다음 삼각함수의 값을 구하여라.

① sinθ/2          ② cosθ/2           ③ tanθ/2

<예>[eqn: sin( πover6 +x)+sin( πover6 -x)] 를 간단히 하여라.

<예>다음 식의 값을 구하여라.

①sin20°sin40°sin80°

②cos20°cos40°cos80°

③sin50°+ cos80°- sin70°

④cos10°- cos50°- cos70°

3.삼각함수의 합성

(1)사인합성

[eqn: asinθ+bcosθ=root{a^2 +b^2 }cosαsinθ+root{a^2 +b^2 }sinαcosθ]

[eqn: =root{a^2 +b^2 }(sinθcosα+cosθsinα)]

[eqn: =root{a^2 +b^2 }sin(θ+α)]

(2)코사인합성

[eqn: asinθ+bcosθ=root{a^2 +b^2}sinαsinθ+root{a^2 +b^2 }cosαcosθ]

[eqn: =root{a^2 +b^2 }(cosθcosα+sinθsinα)]

[eqn: =root{a^2 +b^2 }cos(θ+α)]

<예>다음 삼각함수를 합성하여라.

①[eqn: root3 sinθ+cosθ]

②[eqn: sinθ-cosθ]

③[eqn: sinθ-root 3 cosθ]

<예>다음 함수의 최대값과 최소값을 구하여라. ( 0≤θ≤2π)

[eqn: ①y=sinθ+ root3 cosθ~~~②y=cosθ+cos (θ+{ πover3} )]  ③[eqn: y=root3 sinθ-cosθ-1]

[eqn: ④y=sin^2 θ+6sinθcosθ+9cos^2 θ]  [eqn: ⑤y=sin(θ+ 5over6 π)-cos(θ+ πover6 )]

4.삼각방정식

[eqn: sinx = 1over2]을 만족하는 [eqn: x]는?    [eqn: cosx= 1over 2 을 ~만족하는~x는?]    [eqn: tanx= 1 over root3 을 ~만족하는~x는?]

x=30°150°390°510°……   x=60°300°420°660°……  x=30°210°390°570°……

[eqn: x=nπ+(-1)^n 30°]           [eqn: x=2nπ±60°]               [eqn: x=nπ+30°]

삼각방정식의 일반해  sinx=a의 한 특수해가 α이면   [eqn: x=nπ+(-1)^n α]

cosx=a의 한 특수해가 α이면   [eqn: x=2nπ±α]

tanx=a의 한 특수해가 α이면   [eqn: x=nπ+α]     (단 x는 정수)

※ 특수해 : 특정한 범위에서 구한 해,    일반해 : 모든 범위의 각에서 구한 해

<예>다음 방정식을 풀어라.

①[eqn: root3sinx-cosx=1]   ②[eqn: sinx-cos2x=0]   ③[eqn: cos2x+3sinx+1=0]

④[eqn: sinx+sin3x+sin5x=0]   ⑤[eqn: sin2x-root 3cos2x-2=0]

§2. 복  소  수

1.복소수의 극형식

(1)복소수

허수 : 제곱하면 음이 되는 수      [eqn: (실수)^2 ≥0,~~(허수)^2 <0]

[eqn: x^2 =9]를 만족하는 실수 x는 존재,  [eqn: x=±root9 =±3]

[eqn: x^2 =-9]를 만족하는 실수 x는 존재 안한다. ⇒ 수의 범위 확장

↳ [eqn: x=±root-9 =±root9root-1 =±3i]  ( [eqn: root-1 =i,~i^2 =-1,~i^3 =-i,~i^4 =1] )

복소수 : [eqn: underline a +underline b ~i] 형태의 수        복소수([eqn: a+bi])      실수 : b＝0

허수 : b≠0

※ a=0 이고 b≠0 인 복소수 → 순허수

(2)복소평면

[eqn: a+bi]를 점[eqn: (a, b)]로 대응시키면 일대일대응

→ 복소수 전체와 좌표평면의 점들은 일대일대응

복소평면 : 복소수를 좌표평면 위의 점과 대응시킨 평면

<예>다음 복소수를 복소평면 위에 나타내어라.

① 4+5i  ② 2-3i ③ -2i  ④ -3

(3)복소수의 극형식

[eqn: z=a+bi ~ buildrel rarrow {극형식} ~z=r(cosθ+isinθ)]

↳복소수의 편각 = arg[eqn: z]

→복소수의 크기 = |z| =[eqn: root{a^2 +b^2 }]

z=a+bi 일 때  ①[eqn: |z|=|overline z ~|]   ②[eqn: argz=-arg{overline z }]   ③[eqn: z overlinez = |z|^2 =|overline z ~|^2]

<예>다음 복소수를 극형식으로 나타내어라.

[eqn: ①~ 1+root3 i~~~~~ ②~1-i~~~~~ ③~i ~~~~~ ④~root3 +i]

<예>세 복소수 [eqn: x=2+5i~~y=3+4i~~z=2+6i] 에 대하여[eqn: {y-x}over{z-x}]를 극형식으로

나타내어라.

2.복소수의 사칙연산

(1)덧셈과 뺄셈

[eqn: z_1 +z_2 =(a+bi)+(c+di)]

[eqn: =(a+c)+(b+d)i]

[eqn: z_1 -z_2 =(a+bi)-(c+di)]

[eqn: =(a-c)+(b-d)i]

(2)곱셈

[eqn: z_1 z_2 =(a+bi)(c+di)]       [eqn: z_1 z_2 =r_1 (cosθ_1 +isinθ_1 ) r_2 (cosθ_2 +isinθ_2 )]

[eqn: =(ac-bd)+(ad+bc)i]     [eqn: =r_1 r_2 (cos(θ_1 +θ_2 )+isin(θ_1 +θ_2 ) )]

∴[eqn: |z_1 z_2 |=|z_1 ||z_2 |, ~~argz_1 z_2 =argz_1 +argz_2]

<예>복소수의 곱 [eqn: (1+root3 i)(1+i)]의 절대값과 편각을 구하여라.

(3)나눗셈

[eqn: z_1 over z_2 = {a+bi}over{c+di} = {a+bi}over{c+di} {c+di}over{c+di}=][eqn: {ac+bd}over{c^2 + d^2 } + {bc-ad}over{c^2 + d^2 } i]

[eqn: z_1 over z_2 ={r_1 (cosθ_1 +isinθ_1 ) } over{r_2 (cosθ_2 +i sinθ_2 ) } = r_1 over r_2 {cosθ_1 +isinθ_2 }over{cosθ_2 +isinθ_2 } { cosθ_2 -isinθ_2 }over{cosθ_2 -isinθ_2 }]

[eqn: = r_1 over r_2 {( cosθ_1 cosθ_2 +sinθ_1 sinθ_2 ) +(sinθ_1 cosθ_2 -cosθ_1 sinθ_2 ) }over {cos^2 θ_2 +sin^2 θ_2 }]

[eqn: = r_1 over r_2 [cos(θ_1 -θ_2 ) +isin(θ_1 -θ_2 )]]

∴ [eqn: | z_1 over z_2 | ={ |z_1 |} over{ |z_2 |} ,~~arg z_1 over z_2 =argz_1 -argz_2]

<예>복소수의 나눗셈  [eqn: ( 1-root3 i ) ~ ÷( 1+root3 i )]의 절대값과 편각을 구하여라.

<예>[eqn: {cosA+isinA}over{(cosB+isinB)(cosC+ibinC) }]가 실수일 때 △ABC는 어떤 삼각형인가?

<예>[eqn: z_1 +iz_2 =(1+i)z_3] 가 성립할 때 다음을 구하여라.

[eqn: ①{z_2 -z_3 }over{z_1 -z_3 }]의 절대값과 편각을 구하여라.

[eqn: ②]복소평면 위에서 [eqn: z_1~, z_2~, z_3]를 꼭지점으로 하는 삼각형은 어떤 삼각형인가?

3. 드 므아브르 정리

[eqn: z=r(cosθ+isinθ)]

[eqn: z^2 =r^2 (cosθ+isinθ)^2 =r^2 (cos^2 θ-sin^2 θ +2isinθcosθ)=r^2 (cos2θ+isin2θ)]

[eqn: z^3 =z^2 z =r^2 (cos2θ+isin2θ)r(cosθ+isinθ)=r^3 (cos3θ+isin3θ)]

………………………………………

[eqn: z^n =r^n (cosnθ+isinnθ),~~그러므로~~r^n (cosθ+isinθ)^n =r^n (cosnθ+isinnθ)]

[eqn: r=1~이면~~ (cosθ+isinθ)^n =cosnθ+isinnθ]---→드 므아브르 정리

<예>다음 식의 값을 구하여라

[eqn: ①~(cos πover6 +isin πover6 )^6 ~~② ~ (1+root3 i)^9 ~~ ③~( 1over2 -root3 over6 i)^-12 ~~ ④~({1+i}over{root3 +i})^-12]

<예>다음 고차방정식을 풀어라.

[eqn: ①~ z^2 =1+root3 i~~~ ②~z^3 =-i~~~ ③~z^4 =-1~~~ ④~z^4 =8(-1 +root3 i )]

<예>[eqn: x=cos πover3 +isin πover3 일~때~1+x+x^4 +x^9 =x^16 +x^25 의~값을~구하여라.]

<예>n은 30보다 작은 양의 정수이고 적어도 한 각의 크기 θ에 대하여

[eqn: (sinθ+icosθ)^n =sinnθ+isinnθ]를 만족시킨다고 한다. 이때 모든 n의 합은?

<예> z=cos18°+ isin18°일 때 다음식의 값을 구하여라.

[eqn: ①~ 1+z+z^2 +……+z^19 ~~~~~~~~~~~ ②~1× z× z^2 × ……× z^19]

< 발 전 문 제 >

1. 복소수 z가 [eqn: z=r(cosθ+i sin θ)]일 때, 다음 복소수를 구하여라.

(1) -z                          (2)[eqn: overline z]

2. [eqn: (1+root3 i )^30]을 간단히 하여라.

3. 방정식[eqn: z^4 =8(-1+root3 i)]을 풀어라.

4. [eqn: sin x -cos x = {1-root3}over2]일 때 [eqn: sin 2x]와 [eqn: cos 2x]를 구하여라. (단 [eqn: 0<= x <= pi over 2])

5. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: (cos alpha , sin alpha ),~(cos beta , sin beta )] 사이의 거리가 1일 때 α-β의 값을

구하여라. (단 0<α<π, 0<β<π)

6. 세 복소수 [eqn: z_1 ,~z_2 ,~z_3]에 대하여

[eqn: |z_3 -z_1 |=|z_2 -z_1 |], [eqn: arg(z_3 -z_1 )= {2 pi} over 3], [eqn: arg(z_2 -z_1 )= pi over 6]일 때,

복소평면 위의 세 점 [eqn: z_1 ,~z_2 ,~z_3]를 이으면 어떤 삼각형이 되는가?

7. 등식[eqn: (cos 2over3 pi +i sin 2over3 pi )^n =1]을 만족하는 자연수 [eqn: n]의 값 중 최소인 것을 구하여라.

8. 점 [eqn: (x,~y)]가 직선 [eqn: 3x+4y=1]위를 움직일 때, [eqn: 1 over{x+yi} =u+vi]에 의하여 정하여지는

점 [eqn: (x,~y)]가 나타내는 도형의 넓이를 구하여라. (단 [eqn: x,y,u,v]는 실수)

9. 함수 [eqn: f( theta )=sin theta +cos theta -sin theta cos theta] ([eqn: 0<= theta <= pi] )에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(1)[eqn: sin theta +cos theta =t] 일 때, [eqn: t]의 범위를 구하여라.

(2) [eqn: f( theta )]의 최소값을 구하여라.

10. [eqn: sin 2 theta =cos 3 theta]를 이용하여 [eqn: sin 18°]를 구하여라.

11. [eqn: x+ 1over x =2cos theta] 일 때, [eqn: x^n + 1over x^n]을 구하여라.

12. 0이 아닌 두 복소수 [eqn: z_1 ,z_2]에 대하여 [eqn: z_1 ^2 +z_1 z_2 +z_2 ^2 =0]이 성립할 때, 다음을 구하여라.

(1) 복소평면 위의 점 [eqn: z_1 ,~z_2]가 나타내는 점을 각 각 P, Q 라고 할 때, ∠POQ는?

(2) [eqn: |z_1 | =2]일 때, [eqn: |z_1 -z_2 |]의 값을 구하여라.                        (단 O는 원점)